ALGEBRA

NÚMEROS  NOTABLES

¿QUE SON NÚMEROS NOTABLES?

Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.

FACTOR COMÚN

Cuadrado de un binomio[editar]

Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,}$

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La expresión siguiente: ${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}\;}$ se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es:

${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,}$

[Expandir]Demostración

Ejemplo:

${\displaystyle (2x-3y)^{2}=(2x)^{2}-2(2x)(3y)+(3y)^{2}\,}$

Simplificando:

${\displaystyle (2x-3y)^{2}=4x^{2}-12xy+9y^{2}\,}$

Producto de binomios con término común[editar]

Dos binomios con un término común[editar]

Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común.

Para efectuar un producto de dos binomios con término común se tiene que identificar el término común, en este caso x, luego se aplica la fórmula siguiente:

${\displaystyle (x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab\,}$

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Ejemplo:

${\displaystyle (x+4)(x-7)=x^{2}-3x-28\,}$

${\displaystyle (2y-1)(2y-3)=(2y)^{2}+(-1-3)(2y)+((-1)(-3))=4y^{2}-8y+3}$

Tres binomios con término común[editar]

Fórmula general:

${\displaystyle (x+a)(x+b)(x+c)=x^{3}+(a+b+c)x^{2}+(ab+ca+cb)x+abc}$

Binomios con término común[editar]

Fórmula general:

${\displaystyle (x+a_{1})\cdot \dots \cdot (x+a_{n})=x^{n}+(a_{1}+\dots +a_{n})x^{n-1}+((a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+\dots a_{1}a_{n})+(a_{2}a_{3}+\dots +a_{2}a_{n})+\dots +(a_{n-1}a_{n}))x^{n-2}+\dots (a_{1}\cdot \dots \cdot a_{n})}$

xⁿ + (suma de términos no comunes agrupados de uno en uno)x^n-1 + (suma de términos no comunes agrupados de dos en dos)x^n-2 +… + (producto del número de términos)

Producto de dos binomios conjugados[editar]

Véase también: Conjugado (matemática)

Producto de binomios conjugados.

Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.

${\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\,}$

Ejemplo:

${\displaystyle (3x+5y)(3x-5y)=\,}$

${\displaystyle (3x)(3x)+(3x)(-5y)+(5y)(3x)+(5y)(-5y)\,}$

Agrupando términos:

${\displaystyle (3x+5y)(3x-5y)=9x^{2}-25y^{2}\,}$

A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

• En el caso ${\displaystyle (p-a+b+c)=(p-a-b-c)=(p-a)^{2}-(b+c)^{2}}$,¹ aparecen polinomios.

Cuadrado de un polinomio[editar]

Elevación de un trinomio al cuadrado de forma gráfica.

Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

${\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+ac+bc)\,}$

${\displaystyle (a+b+c+d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)\,}$

Ejemplo:

${\displaystyle (3x+2y-5z)^{2}=(3x+2y-5z)(3x+2y-5z)\,}$

Multiplicando los monomios:

${\displaystyle (3x+2y-5z)^{2}=3x\cdot 3x+3x\cdot 2y+3x\cdot (-5z)\,}$

${\displaystyle +2y\cdot 3x+2y\cdot 2y+2y\cdot (-5z)\,}$

${\displaystyle +(-5z)\cdot 3x+(-5z)\cdot 2y+(-5z)\cdot (-5z)\,}$

Agrupando términos:

${\displaystyle (3x+2y-5z)^{2}=9x^{2}+4y^{2}+25z^{2}+2(6xy-15xz-10yz)\,}$

Luego:

${\displaystyle (3x+2y-5z)^{2}=9x^{2}+4y^{2}+25z^{2}+12xy-30xz-20yz\,}$

Romper moldes

${\displaystyle x(x+1)(x+2)(x+3)+1=(x^{2}+3x+1)^{2}}$.²

Cubo de un binomio[editar]

Descomposición volumétrica del binomio al cubo.

Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente:

• El cubo del primer término.
• El triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
• El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
• El cubo del segundo término.

${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,}$

Identidades de Cauchy:

${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)\,}$

Ejemplo:

${\displaystyle (x+2y)^{3}=x^{3}+3(x)^{2}(2y)+3(x)(2y)^{2}+(2y)^{3}\,}$

Agrupando términos:

${\displaystyle (x+2y)^{3}=x^{3}+6x^{2}y+12xy^{2}+8y^{3}\,}$

Si la operación del binomio implica resta, el resultado es:

• El cubo del primer término.
• Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
• Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
• Menos el cubo del segundo término.

${\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,}$

Identidades de Cauchy:

${\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-b^{3}-3ab(a-b)\,}$

Ejemplo:

${\displaystyle (x-2y)^{3}=x^{3}-3(x)^{2}(2y)+3(x)(2y)^{2}-(2y)^{3}\,}$

Agrupando términos:

${\displaystyle (x-2y)^{3}=x^{3}-6x^{2}y+12xy^{2}-8y^{3}\,}$

Identidad de Argand[editar]

${\displaystyle (x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)=x^{4}+x^{2}+1\,}$

Identidades de Gauss[editar]

${\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac)\,}$

${\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc={\frac {1}{2}}(a+b+c)[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}]\,}$

Identidades de Legendre[editar]

${\displaystyle (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})\,}$

${\displaystyle (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab\,}$

${\displaystyle (a+b)^{4}-(a-b)^{4}=8ab(a^{2}+b^{2})\,}$

Identidades de Lagrange[editar]

Artículo principal: Identidad de Lagrange

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})=(ax+by)^{2}+(ay-bx)^{2}\,}$

${\displaystyle (a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})=(ax+by+cz)^{2}+(ay-bx)^{2}+(az-cx)^{2}+(bz-cy)^{2}\,}$

Otras identidades[editar]

Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique a cuáles productos se les puede considerar notables, y a cuáles no. A otras fórmulas, aunque menos usadas que las anteriores, en ciertos contextos se les puede calificar de productos notables. Entre ellas se destacan:

Adición de cubos:

${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,}$

Diferencia de cubos:

${\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,}$

Es más frecuente listar las dos expresiones anteriores como las fórmulas de factorización, ya que los productos no tienen una forma particularmente simétrica, pero el resultado sí (contrástese, por ejemplo, con la fórmula de binomio al cubo).

${\displaystyle (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}\,}$

${\displaystyle (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}\,}$

La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potencias enésimas (o n - ésimas: xⁿ).

Suma de potencias enésimas:

Si –sólo si– n es impar, ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-\cdots +b^{n-1})\,}$

Diferencia de potencias enésimas:

${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\cdots +b^{n-1})\,}$

Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante el teorema del binomio.

Para representar el cubo de un monomio, como diferencia de dos cuadrados, existe una fórmula³ ingeniosa:

${\displaystyle a^{3}=\left({\frac {(a+1)a}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {(a-1)a}{2}}\right)^{2}}$

FACTORIZACION

En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, unasuma o resta, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre defactores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

Lo contrario de la factorización de polinomios es la expansión, la multiplicación de los factores juntos polinómicas a un polinomio "ampliado", escrito como una simple suma de términos.

El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, y para la factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra. La factorización de números enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de algoritmos sofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de algunos sistemas de criptografía asimétrica como el RSA.